根号3是有理数还是无理数

根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明根号三是无理数

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2所以3整除p^2，因3是质数，所以3整除p，可设p=3t，则q^2=3t^2，所以3整除q。因此p和q有公约数3，与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数。

2、设x=根号3，则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1，所以p=1或3，q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾。

3、设x=根号3=p/q(p，q)=1,所以存在整数s，t使ps+qt=1根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾。



根号三是有理数吗

有理数包括整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数。根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。根号三是无限不循环小数，它不是有理数，而是无理数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数

2、设x=根号3,则有方程x^2=3

假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.

3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

根号3是有理数还是无理数

根号3是有理数还是无理数？

无限不循环小数叫做无理数，开不尽的方根是无理数，所以√3，是无理数。

其它√3，√7，√11…………等等都是。

但无理数不都是开不尽的方根，如π，e也是无理数。无理数也是非比数，不能写成两个整数的比。

怎么判断根号3是有理数还是无理数？

假设根号3是有理数，设√3=a/b(a,b互质）

所以3*b*b=a*a

所以3为a的约数，设a=3*m

则3*b*b=9*m*m

所以3为a的约数

即3为a、b的公约数

与a,b互质矛盾

所以，根号3不是有理数

有理数这个词最初源自古希腊，是由古希腊著名的数学家、哲学家毕达哥拉斯最早提出的，后来传到了西方，明朝的时候经由传教士传到了中国，徐光启当时把它译为“理”，据说“理”在当时文言文中有“比值”的意思，后又传到日本，日本学者就把它理解为“道理、理性”。

近代中国又直接沿用了日本的译法。很大的原因是因为这个词的英文是“rational number”，rational一般作“合理的、理性的”来讲，但是它的词根ratio是“比率、比例”的意思。