空集是任何集合的真子集，这句话对吗

   空集是比较烦人的东西，按照定义，空集就是没有元素的集合，却到处都有他的影子。自己啥都没有，还无处不在，够烦人的。集合论里有一个早就熟知的论断：空集是任何集合的子集。

1、今天就来挖掘这句话里面包含的含义。

2、说明一点，个人相对于”命题“一词而言，更倾心于”论断“一词。

3、这里的”论断“一词就是中学数学里的”命题“一词。

4、            我当初理解这个论断，是借助于集合运算的一个性质：      A∩∅=∅………………………………①      因为在B不是空集的时候，若A∩B=B，则B是A的子集，所以以此类推空集是任何集合的子集，而要证明①式，只需要利用交集的定义即可，由此就变得顺其自然。

5、不过若我们考虑子集的定义，发现这里面还是有东西可挖的。

6、      B是A的子集，当且仅当若x∈B，则x∈A。

7、(顺便说说，没办法在网页上直接输入包含符号真的很麻烦)      现在我们用来审视”空集是任何集合的子集”这句话：      ∅是A的子集↔若x∈∅，则x∈A。

8、      要让左边成立，必须让右边是个真论断，那么右边是对还是错？有些人说这对，有的人说是错。

9、我们要看到，右边是一个“若p则q”形式的论断，而这里的p是一个假论断，也就是其条件本身就是假的，自然我们就无法断定q的真假，不过我们可以根据逆否论断的观点来看这个问题：        若x∈∅，则x∈A↔若x∉A，则x∉∅      我们知道，右边论断的真假性与左边论断的真假性是一致的。

10、而右边正确不？显然，不管是在什么情况下，x∉∅总是成立的，由此断定论断“若x∉A，则x∉∅”是一个真论断，那么“若x∈∅，则x∈A”也是一个真论断，从而“∅是A的子集”也是一个真论断。

11、      就像上面的例子一样，考虑论断r：“若p则q”，如果假设p本身就是假，则论断r一定为真。

12、当假设在任何情况下也不成立，这样的论断我们就称之为”虚真论断“。

13、我们可以用逆否论断的观点来证明：      若p则q↔若非q则非p。

14、      由于p为假，所以非p一定为真，也就是为真，由逆否论断与原论断真假性一致的性质，得出论断”若p则q，其中p为假“为真论断。

15、      所以，我们的”空集是任何集合的子集“这句话，其实就是”虚真论断“的一个案例。

16、      由虚真论断的观点，可以得到更加有趣的东西。

17、我们知道，两个空集的交集与并集是空集，那么你是否想过这个问题？现在考虑一个比空集还要空的问题：两个根本就不存在的集合的交集与并集是什么呢？说起来还有点绕口，这就是我们数学上的”集族“概念，不要觉得这个多高深，所谓集族，就是当一个集合的元素也是集合的时候，这个集合就称之为集族，明天我们就介绍这个很有意思的问题。