矩阵的初等变换

某一行列乘以一个非零倍数，某一行列乘以一个非零倍数，加到另一行列某两行列，互换。

某一行列乘以一个非零倍数，某一行列乘以一个非零倍数，加到另一行列某两行列，互换。

在线性代数中矩阵的初等变换是三种变换类型，交换矩阵的两行，以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素，把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素，把以上的行改为列便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号r换为c，矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。

初等变换都不会改变一个方阵A的行列式的非零性，所以如果一个矩阵是方阵，我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆，来判断原矩阵是否可逆。可以看出，矩阵的3种初等变换都是可逆的，且其逆变换也是同一种类型的初等变换，这只是矩阵初等变换的一个小小的应用，它在线性代数中的更重要的应用主要体现于求矩阵的秩，求向量组的极大无关组、秩，求解线性方程组，求多项式的最大公因式等。

初等行变换的用途求矩阵的秩,化行阶梯矩阵，非零行数即矩阵的秩，同时用列变换也没问题，但行变换就足够用了，化为行阶梯形求向量组的秩和极大无关组，(A,b)化为行阶梯形，判断方程组的解的存在性，化行最简形把一个向量表示为一个向量组的线性组合，方程组有解时, 求出方程组的全部解求出向量组的极大无关组，且将其余向量由极大无关组线性表示。

设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E,则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。

用矩阵的伴随矩阵求解：对于这个方法，二阶矩阵用得比较广，三阶及以上就不太实用了；初等变换法：要求的和单位矩阵摆在一起，左边怎么变右边就这么变，注意自己的初等变换实力过关。

如果想学好这门课程强烈推荐大家每次做题前先将书上的理论框架完全搞清，列出重要的对象和定理，隐去定义和证明内容，自行推理建立一遍书上的体系。哪些证明不要求，证明步骤的先后顺序等等细节务必完全落实。

以三阶伴随矩阵为例：

首先求出各代数余子式

A11=(-1)^2*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32

A12=(-1)^3*(a21*a33-a23*a31)=-a21*a33+a23*a31

A13=(-1)^4*(a21*a32-a22*a31)=a21*a32-a22*a31

A21=(-1)^3*(a12*a33-a13*a32)=-a12*a33+a13*a32

……

A33=(-1)^6*(a11*a22-a12*a21)=a11*a22-a12*a21

然后伴随矩阵就是

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33然后再转置，就是伴随矩阵。