圆系方程的推导过程

圆系方程的推导过程：已知圆A：x²+y²+D1x+E1y+F1=0与圆B：x²+y²+D2x+E2y+F2=0，方程：x²+y²+D1x+E1y+F1+λ(x²+y²+D2x+E2y+F2)=0……①,当λ≠-1时，方程①表示过圆A与圆B的交点的圆系的方程，当λ=0时，表示圆A，但不能表示。

圆系方程是一种特殊的方程。在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。

例题：

例2：求过两圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为

x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-9=0

过直线2x+2y-9=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为

x^2+y^2-25+λ(2x+2y-9)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(9λ+25)=0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-9=0上。即-2λ-2λ-9=0，则λ=-9/4

代回圆系方程得所求圆方程(x-9/4)^2+(y-9/4)^2=79/8