牛顿莱布尼茨公式

牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿-莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

定理意义：牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

定理理解：比如路程公式：距离s=速度v乘以时间t，即s=v*t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式(s=v*t，t=b-a)就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。定积分一般定理：定理1：设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2：设f(x)区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。定理3：设f(x)在区间[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积。

牛顿莱布尼茨公式是什么？

若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且

b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)

这即为牛顿—莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：

编辑本段对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：

b∫a*f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)=

x∫a*f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=

x∫a*f(t)dt

编辑本段研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)=

x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ

与格林公式和高斯公式的联系

’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim

Δx→0

ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

例子：求由∫（下限为2，上限为y）e^tdt+∫（下限为o，上限为x）costdt=0所确定的隐函数y对x的导数dy/dx

求1,∫（下限为-1，上限为1）(x-1)^3dx

2,

求由∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx

3,求由∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx

解答：

e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).

1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4

2).∫（下限为0，上限为5）|1-x|dx=-∫（下限为0，上限为1）x-1dx+

∫（下限为1，上限为5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2

x√x^2是奇函数，所以∫（下限为-2，上限为2）x√x^2dx=0

牛顿莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。    

牛顿-莱布尼茨公式的意义及用法是什么？

牛顿－莱布尼茨公式的意义：

1、牛顿－莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

2、牛顿－莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿－莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿－莱布尼茨公式的用法：

1、牛顿－莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。

2、牛顿－莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。

扩展资料：

1、牛顿－莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间［a，b］上的定积分等于它的任意一个原函数在区间［a，b］上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿－莱布尼茨公式。

2、牛顿－莱布尼茨公式，表明某函数的定积分可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理，因为它大大简化了定积分的计算。

牛顿布莱尼茨公式是什么 推导过程有哪些

牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。那么，牛顿布莱尼茨公式是什么呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！

牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且

从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)

其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.

证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,

则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)

当Δx很小时,

F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx

F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx

……

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx

所以,

F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx

当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

牛顿布莱尼兹公式

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibnizformula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿-莱布尼茨公式的内容是：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，则这即为牛顿-莱布尼茨公式，牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式，因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式，牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。